Dedução da fórmula da soma dos n termos de uma progressão geométrica

Primeiramente é preciso saber que o termo geral de uma P.G. é dado por:

Assim fazemos a soma:

                              
Podemos escrevê-la dessa forma:

                     

Agora multiplicamos os dois lados da equação pela razão (q):

                              


E subtraímos os dois lados da equação pela própria soma finita (Sn):


                  



Agora manipularemos a equação matematicamente, mas é preciso atenção:

                  


Com a equação obtida, fazemos as possíveis simplificações e chegamos em:

                                   


Finalmente passamos o fator que multiplica a soma para o lado esquerdo e obtemos:



                                          

OBS.: Com as devidas alterações é possível outra fórmula prática para o cálculo da soma dos n termos de uma progressão geométrica, se substituírmos na fórmula determinada o produto do primeiro termo da P.G. pela razão elevada ao n-ésimo número pelo termo geral, obtém-se a seguinte expressão: